博弈论（Game Theory）简介
博弈论是研究在具有相互依赖的决策情况下，个体如何做出最佳决策的一门数学理论。它的核心问题是通过数学模型来分析个体之间（称为“博弈者”）在各种博弈情境中的行为和策略选择。博弈论广泛应用于经济学、政治学、社会学、军事学以及生物学等多个领域，帮助解释和预测不同决策者在相互作用中的行为模式。
博弈论的目标通常是找到博弈者之间的最优策略，即使他们在面对竞争或合作时，都能通过分析对方的选择来优化自己的决策。
博弈论的基本概念
博弈（Game）： 博弈论的核心是博弈。博弈由多个博弈者（参与者）组成，他们在每个时刻做出决策，目标通常是最大化自己的利益。博弈可以是合作性博弈（例如合资企业）或非合作性博弈（例如市场竞争）。
策略（Strategy）： 博弈者在博弈中选择的行动方案叫做策略。一个博弈者的策略集合是指他在博弈中可能选择的所有行动。策略可以是纯策略（直接选择一个动作）或混合策略（选择动作的概率分布）。
支付矩阵（Payoff Matrix）： 在博弈论中，支付矩阵描述了博弈者选择不同策略后获得的结果。支付矩阵的每一项表示对应策略组合下博弈者的收益。
纳什均衡（Nash Equilibrium）： 纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在一个博弈中，给定其他玩家的策略，所有玩家都选择自己的最佳策略，并且没有任何一个玩家可以通过单方面改变自己的策略来获益更多。也就是说，在纳什均衡状态下，所有博弈者的策略互为最佳回应。
零和博弈（Zero-Sum Game）： 在零和博弈中，博弈者的得失总和为零，意味着一个博弈者的收益恰好是另一个博弈者的损失。例如，棋类游戏就是典型的零和博弈。
合作博弈（Cooperative Game）： 合作博弈是指博弈者可以通过达成协议、签订合同等方式，形成合作并共同追求最优的集体目标。比如在经济学中，多个公司可能通过合并或共谋来提高利润。
非合作博弈（Non-Cooperative Game）： 非合作博弈指的是博弈者之间没有合作协议，每个博弈者都独立选择策略，目的是最大化自己的收益。在这种博弈中，博弈者往往会根据对方的策略来调整自己的策略。
博弈论的分类
静态博弈与动态博弈
静态博弈：所有博弈者在同一时刻作出决策，且决策是同时发生的。典型的例子是囚徒困境和博弈论中的支付矩阵。动态博弈：博弈者的决策分为多个时刻，每个博弈者的决策是依赖于历史选择的。例如，在重复博弈中，博弈者的策略可能会随着时间的推移而变化。
完全信息博弈与不完全信息博弈
完全信息博弈：所有博弈者对游戏的结构和所有其他博弈者的选择都有完全了解。例如，棋类游戏（如国际象棋）就是一个完全信息博弈。不完全信息博弈：博弈者对其他博弈者的某些信息不完全知晓，典型的例子是市场竞争或拍卖问题。博弈论的核心模型和例子
囚徒困境（Prisoner's Dilemma）
问题设定：两名嫌疑犯被警方逮捕，警方没有足够的证据判他们有罪，只能通过他们的口供来定罪。每个嫌疑犯有两个选择：沉默或供认。如果两人都沉默，他们各被判 1 年监禁；如果两人都供认，他们都被判 5 年监禁；如果一个人供认，另一个人沉默，那么供认的人被释放，另一个人被判 10 年监禁。
支付矩阵：
沉默供认沉默(−1,−1)(−10,0)供认(0,−10)(−5,−5)\begin{array}{c|c c} & \text{沉默} & \text{供认} \\ \hline \text{沉默} & (-1, -1) & (-10, 0) \\ \text{供认} & (0, -10) & (-5, -5) \\ \end{array}
分析：尽管两人如果都选择沉默会得到最好的集体结果，但由于每个嫌疑犯的理性选择是最大化自己利益（即选择供认），最终两人都会供认并且各被判 5 年监禁，这就是纳什均衡。
猎鹿博弈（Stag Hunt）
问题设定：两个人共同狩猎，猎到鹿后两人可以共同分享收益，但猎鹿需要两人合作。如果其中一个人选择去捕捉兔子（而非鹿），则可以单独得到兔子作为收益，尽管这个收益小于捕猎鹿。
支付矩阵：
猎鹿猎兔猎鹿(3,3)(0,2)猎兔(2,0)(1,1)\begin{array}{c|c c} & \text{猎鹿} & \text{猎兔} \\ \hline \text{猎鹿} & (3, 3) & (0, 2) \\ \text{猎兔} & (2, 0) & (1, 1) \\ \end{array}
分析：如果双方都选择猎鹿，则得到最大的共同收益（3, 3）；如果一个选择猎兔，另一个选择猎鹿，则选择猎兔的人得到 2，选择猎鹿的人得到 0。猎鹿博弈有两个纳什均衡：一种是双方都猎鹿，另一种是双方都猎兔。
鸡游戏（Chicken Game）
问题设定：两辆车在同一条路上相向而行，双方都不愿意退让。若两车不避让，必定发生碰撞，两者都会受伤；如果一方避让而另一方不避让，后者获胜。
支付矩阵：
避让不避让避让(0,0)(−1,1)不避让(1,−1)(−10,−10)\begin{array}{c|c c} & \text{避让} & \text{不避让} \\ \hline \text{避让} & (0, 0) & (-1, 1) \\ \text{不避让} & (1, -1) & (-10, -10) \\ \end{array}
分析：如果两者都不避让，会发生最糟糕的碰撞（-10, -10）。然而，如果一方避让，另一方不避让，则前者输，后者赢。
博弈论的应用
经济学与市场竞争：博弈论用于分析价格竞争、拍卖、合作、合谋等市场行为。政治学与国际关系：博弈论用于分析国家之间的战略互动，如战争、国际谈判、外交政策等。生物学与进化：博弈论用于解释生物个体之间的合作与竞争，例如动物的觅食行为、繁殖策略等。计算机科学与算法设计：博弈论应用于人工智能、网络博弈、在线拍卖等领域。总结
博弈论是理解个体在相互依赖的决策环境中的行为和策略的重要工具，广泛应用于经济学、政治学、社会学等多个领域。通过不同的博弈模型（如囚徒困境、猎鹿博弈等），我们可以分析复杂的决策问题，并预测最优策略和纳什均衡。在实际应用中，博弈论为我们提供了分析和优化决策的有力工具。